Rezonance

Představte si, že sedíte na houpačce. Dokážete se rozhoupat sami. Musíte proto tlačit celou dobu? Ne. Stačí změnit těžiště ve správný moment. To si možná ani neuvědomujete, ale časový interval mezi momenty, kdy musíte zabrat, je konstantní a právě perioda houpání je dán konstrukcí houpačky. Převrácená hodnota periody je frekvence, a v tomto případě mluvíme o vlastní rezonanční frekvenci. Rezonance je děj, při kterém na vstupu stačí dodávat malé, ale správně načasované množství energie, abychom dosáhli velkého výstupu. A přesně to je houpání.

Fyzikálně vzato rozhoupaná houpačka převádí kinetickou energii na polohovou a naopak. V krajní poloze má maximální polohovou energii a nulovou kinetickou. V nejnižším bodě se situace obrací, polohová energie je minimální, ale kinetická maximální.

Podobného přelévání energií lze dosáhnout i v elektrických obvodech. Tam se přelévá energie elektrického pole kondenzátoru a energie magnetického pole cívky. Když chceme, aby se obvod rozkmital, nemusíme ho napájet trvale, stačí mu dodávat krátké impulzy s frekvencí odpovídající jeho vlastní rezonanční frekvenci.

Nabíjení rezonančního obvodu

Představme si obvod, kde je ve smyčce pouze cívka a kondenzátor. Paralelně přes vypínač je ke kondenzátoru připojen stejnosměrný zdroj. Ten nejprve nabije kondenzátor. Po přepnutí vypínače začne proud cyklovat mezi cívkou a kondenzátorem. Kdybychom zaznamenávali průběh proudu vodičem, uvidíme tlumené kmitání, protože odpor vodičů odnímá obvodu energii. Stejně jako u houpačky se výška kývání snižuje kvůli tření.

Fázorový diagram rezonance

Porovnáme-li průběh okamžitého výkonu na ideální cívce a kondenzátoru, získáme dvě identické sinusovky posunuté o 180°. Pokud je výkon kladný, chová se součástka jako spotřebič. Pokud je záporný, jako zdroj. Z toho plyne, že když je cívka zdrojem, kondenzátor je spotřebičem a naopak. Tyto dvě součástky se tedy energeticky střídají v pohánění svého protějšku.

Podmínka rezonance

Aby výkony na cívce a kondezátoru byly identické, musí být identický součin napětí a proudu na těchto součástkách, tím pádem musí mít stejné reaktance. Ty závisí na frekvenci. Hledáme tedy frekvenci, při níž platí:

$$X_L = X_C$$

Což rozepíšeme jako:

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

A vyjádřením frekvence získáme vztah pro vlastní rezonanční frekvenci:

$$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

Jak jsme si řekli, k rezonanci dochází, když se reaktance rovnají. Ve fázorovém diagramu paralelního obvodu pak jsou proudy na cívce a kondenzátoru mají stejnou velikost, ale opačnou orientaci, vzájemně se tedy vyruší. Výsledné proud je ve fázi s proudem, což znamená, že obvod se při rezonanci chová čistě odporově. Stejný výsledek je i u sériového zapojení. Pokud má obvod čistě činný charakter, účiník je roven jedné:

$$\cos \varphi = 1$$

Paralelní vs. sériová rezonance

Chování proudu v závislosti na frekvenci zjistíme pomocí Ohmova zákona:

$$I = \frac{U}{Z}$$

Impedanci pro sériový obvod je:

$$Z = \sqrt{R^2 + \left(2 \pi f L – \frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}$$

Rovnici impedance dosadíme do předchozího Ohmova zákona:

$$I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(2 \pi f L – \frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}}$$

Dostáváme rezonanční křivku. Z ní je vidět, že při rezonanci může proud dosahovat několikanásobku jmenovité hodnoty. Kdyby obvod neměl žádný odpor, choval by se při rezonanci jako zkrat.

U paralelní rezonance vycházíme z trojúhelníku vodivostí. Pak Ohmův zákon přejde na:

$$I = U \cdot Y$$

A celkový proud vyjádříme jako:

$$I = U \cdot \sqrt{\left(2 \pi f C – \frac{1}{2 \pi f L}\right)^2 + G^2}$$

Graf ukazuje, že celkový proud klesá. I když je minimální, proudy v jednotlivých větvích mohou být vysoké. Obvod se chová, jako by byl rozpojený.

Praktické dopady

Hlavní problém rezonance je možnost zvýšení napětí i proudu až na hodnoty, které mohou obvod poškodit. Proto je ve výkonové elektrotechnice často brána jako nebezpečný jev. V některých oborech je ale stěžejním nástrojem, například v radiotechnice. 

Elektrická rezonance zásadně přispěla k rozvoji radiokomunikace. Vyslat elektromagnetickou vlnu není těžké, stačí zkratovat baterii a vznikne jiskra a ta vysílá elektromagnetickou vlnu. Problém je, že výboj vyšle signál na všech možných frekvencích. Pokud by vedle sebe vysílaly dvě stanice, navzájem by se rušily.

Proto bylo potřeba signály selektovat a tady pomáhá rezonance. Nejjednoduší metoda je amplitudově modulovaný signál (AM) obsahuje nosnou vlnu o specifické frekvenci a informaci (např. hlas). Naladění rádia na konkrétní frekvenci se provádí natáčením deskového kondenzátoru, čímž měníme rezonanční frekvenci obvodu. Jak plyne z rezonanční křivky, obvod mění své parametry jen na jedné specifické frekvenci. Rádio tak ignoruje ostatní vlny a vybere pouze tu, která rezonuje, podobně jako houpačku rozhoupeme jen konkrétní frekvencí.

Přijatý signál je pak zesílen, nosná frekvence odstraněna a zbývá signál obsahující informaci, která je přivedena na reproduktor.