Spojování rezistorů

V praxi se můžeme setkat s tím, že musíme rezistory spojovat. První takovovou kombinací, která dokáže už děti zaujmout, jsou žárovičky na vánočním stromku. Jak žárovičky, tak i rezistory je možné zapojovat za sebou, vedle sebe nebo serioparalělně.

Rezistory spojené za sebou (sériově)

Pomocí vodní analogie jsme si odpor představili jako zúžení trubky, které omezuje velikost proudu vody. Zůstaneme-li u této analogie, sériové zapojení rezistorů je postupné zúžování trubky, což způsobuje stále větší omezení proudu. 

Celkový odpor je dán součtem jednotlivých odporů:
$$R = R_1 + R_2 + R_3$$
Tento vzorec vychází z 1. Kirchhoffova zákona. Součet napětí na zdroji se rovná součtu napětí na spotřebičích:
$$U = U_1 + U_2 + U_3$$
Chceme-li se dostat k odporům, za napětí dosadíme Ohmův zákon:
$$I \cdot R = I \cdot R_1 + I \cdot R_2 + I \cdot R_3$$
Nyní rovnici vydělíme proudem. Protože se proud vyskytuje na obou stranách, zmizí:
$$R = R_1 + R_2 + R_3$$

Rezistory spojené vedle sebe (paralelně)

Paralelní zapojení rezistorů lze přirovnat k přidání potrubí, kterým může voda téct. I když by toto potrubí mělo velký odpor, stále zvětšuje cestu, kudy může proud téct. Proto má celkový odpor paralelní kombinace rezistorů vždy menší hodnotu než odpor nejmenšího rezistoru v obvodu, pokud by byl zapojen samostatně.

Převrácená hodnota celkového odporu je dána součtem převrácených hodnot jednotlivých odporů:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$
Tento vzorec vychází z 2. Kirchhoffova zákona. Celkový proud v obvodu se rovná součtu proudů ve větvích:
$$I = I_1 + I_2 + I_3$$
Opět je cílem dostat se k odporu, proto dosadíme Ohmův zákon:
$$\frac{U}{R_Z} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3}$$
Vydělíme napětím a dostáváme rovnici pro paralelní spojování rezistorů:
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

Tento vztah lze jednodušeji vyjádřit pomocí vodivostí:
$$G = G_1 + G_2 + G_3$$

Transfigurace

Pokud máte rezistory zapojené do tvaru trojúhelníku, není možné vycházet ani z 1. ani z 2. Kirchhoffova zákona. Je třeba nejprve převést trojúhelník na tvar, kterému říkáme hvězda. Pro informaci doplním, že transfigurace není problém jen teoretického cvičení – s tímto problémem se můžete setkat například u třífázových střídavých motorů.

$$R_A = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Odpor vodiče

Elektrony, které procházejí vodičem, se setkávají s několika překážkami. První z nich je samotná atomová struktura. Měď je pro elektrony prostupnější než například hliník. Záleží také na čistotě materiálu. Tyto vlastnosti vyjadřuje měrný odpor ρ, jehož jednotkou je Ω·m. Proudu elektronů na cestě odpovídá více kolizí, úměrně tomu, jak dlouhý vodič je. Označíme délku vodiče a průřez, kterým elektrony procházejí. Větší průřez vodiče znamená menší odpor. Výsledný vzorec zní:
$$R = \frac{\rho \cdot l}{S}$$

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Kov} & \text{Měrný odpor} \, (\Omega \text{m}) \\
\hline
\text{Stříbro} & 0{,}0160 \times 10^{-6} \\
\text{Měď} & 0{,}0175 \times 10^{-6} \\
\text{Zlato} & 0{,}0220 \times 10^{-6} \\
\text{Hliník} & 0{,}0270 \times 10^{-6} \\
\text{Wolfram} & 0{,}0550 \times 10^{-6} \\
\text{Železo} & 0{,}1000 \times 10^{-6} \\
\text{Uhlík} & 250 \times 10^{-6} \\
\hline
\end{array}
\]

Odpor vodiče ovlivňuje také teplota. Vyšší teplota způsobuje větší pohyb atomové mřížky, což omezuje pohyb elektronů. Rovnice popisující vztah odporu na teplotě je:
$$R_t = R_0 \cdot \left( 1 + \alpha \cdot \Delta T \right)$$

R₀ je odpor při při počáteční teplotě

ΔT je rozdíl počáteční a koncové teploty

Koeficient α (teplotní odporový součinitel) má pro měď hodnotu 0,004. Udává, o kolik Ohmů vzroste odpor 1Ω při změně teploty o 1 °C.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Kov} & \text{Koeficient} \, \alpha \, (\text{K}^{-1}) \\
\hline
\text{Stříbro} & 0{,}0038 \\
\text{Měď} & 0{,}004 \\
\text{Zlato} & 0{,}0034 \\
\text{Hliník} & 0{,}0043 \\
\text{Wolfram} & 0{,}0045 \\
\text{Železo} & 0{,}0050 \\
\text{Uhlík} & -0{,}0005 \\
\hline
\end{array}
\]