Komplexní čísla a fázorový diagram

V autě jedou dva a pět vystoupí. Kolik lidí jede v autě? Matematika nám umožňuje řešit zdánlivé nesmysly, ale to, co se zdá jako počítání bez významu, si v jiných oborech může najít své opodstatnění. Pokud byste totiž měli na debetní kartě dva tisíce a koupili zboží za pět tisíc, máte na účtu dluh 3000 Kč. To se vám může zdát jako naprostá samozřejmost, ale v Evropě 14. století byla čísla menší než nula považována za nesmysl. Přitom záporná čísla jen rozšiřují reálnou osu, a my budeme v rozšiřování pokračovat: přidáme k ose reálné novou dimenzi, kterou nazveme imaginární. Čísla, která mají jak reálnou, tak imaginární složku, nazýváme komplexní.

Kde se vzalo imaginární číslo?

Nutnost zavedení komplexních čísel vycházela z prosté absence řešení rovnice
$$x^2 = -1$$
Jaké číslo na druhou je rovno –1? Na reálné ose žádné takové není. Proto se zavedlo imaginární číslo j, jehož druhá mocnina je rovna právě –1:
$$j = \sqrt{-1}$$

Nyní máme komplexní rovinu složenou z reálné a imaginární osy. Pokud bychom měli reálné číslo 2 a násobili ho jakýmkoli jiným reálným číslem, vektor s počátkem v nule se bude zvětšovat nebo zmenšovat, ale zůstane na reálné ose, jen se otočí o 180 °.
Pokud bychom však násobili reálné číslo 1 imaginárním číslem j, dostaneme při prvním násobení číslo j. Po druhém násobení získáme –1, po třetím –j a po čtvrtém se vracíme na 1. Každé přenásobení tedy otočí vektor o 90 °.
Toto chování si můžeme vyjádřit tabulkou:

$$
\begin{array}{c c c}
\text{Výraz} & \text{Mocnina} & \text{Výsledek} \\
\hline
1 \cdot j & j^1 & j \\
1 \cdot j \cdot j & j^2 & -1 \\
1 \cdot j \cdot j \cdot j & j^3 & -j \\
1 \cdot j \cdot j \cdot j \cdot j & j^4 & 1 \\
\end{array}
$$

Využití komplexních čísel

I když se komplexní čísla začala formovat už v 16. století, po dlouhou dobu si nenacházela praktické uplatnění. Dnes jsou pro nás elektrotechniky naprosto nepostradatelná, zejména při výpočtech střídavých proudů.
Fázory proudů a napětí se mohou po komplexní rovině pohybovat bez omezení, tím pádem může být proud kladný, záporný, čistě reálný nebo ryze imaginární. To vše má svůj fyzikální význam, do kterého se v následujících článcích ponoříme.
Zatím si vystačíme s tím, že praktické uplatnění komplexních čísel nacházíme v různých zobrazovačích stavů v elektrické síti a obvodech, abychom pochody viděli názorněji než jen ve tvaru abstraktních rovnic.
Těmto zobrazením říkáme fázorové diagramy.