Sériové řazení Impedancí

V reálných obvodech mají cívky a kondenzátory nejen reaktanci, ale také vlastní odpor. Pro jejich společný popis zavádíme pojem impedance Z, která je vektorovým součtem odporu a reaktance:

$$ Z = R + jX $$

kde R je činný odpor a X je reaktance – kladná pro cívku, záporná pro kondenzátor.

Impedance nám umožňuje řešit pokud je v jednom obvodu spojeno více komponent a v tomto článku si představíme, jak se řeší pokud jsou impedance řazené sériové

Fázorový diagram

Pro rozbor obvodů používáme fázorový diagram, tedy grafické znázornění napětí a proudu v komplexní rovině. V sériovém obvodu je proud společný pro všechny prvky. Proto řídícím vektorem bude proud a od něj se budou odvozovat polohy vektorů napětí.

Připomeňme si:

• Napětí na odporu je ve fázi s proudem.
• Napětí na cívce předbíhá proud o 90°.
• Napětí na kondenzátoru se zpožďuje za proudem o 90°.

Příklad 1: Rezistor a cívka v sérii

Pro všechny součástky je shodný proud, ten proto bude řídící. Poté zaneseme fázor napětí na rezistoru U_R, který je ve fázi (0°) s proudem. Fázor napětí na cívce U_L je 90° před proudem. Počátek fázoru U_L přesuneme z počátku na konec fázoru U_R a získáváme celkové napětí U.

Příklad 2:  Rezistor a kondenzátor v sérii

Začátek je stejný, jen fázor napětí na kondenzátoru je 90° za proudem. Počátek fázoru U_C položíme na konec fázoru U_R a získáváme celkové napětí U.

Příklad3: Rezistor, cívka a kondenzátor v sérii

Zde je situace podobná, jen s tím rozdílem, že fázory U_L a U_C jsou na stejné ose, ale směřují opačným směrem. Proto je nejprve od sebe odečteme a pak už pokračujeme podobně.

Výpočet velikosti impedance

Díky tomu, že je reálná a imaginární osa na sebe kolmá (90°), není náročné odvodit některé vztahy. Vezměme si pro jednoduchost první případ se sériovým řazením odporu a dokonalé cívky. Dostáváme pravoúhlý trojúhelník, kde výsledné napětí se dá vypočítat pomocí Pythagorovy věty:

$$ U^2 = U_R^2 + U_L^2 $$

Všemi prvky teče tentýž proud. Dosaďme tedy za napětí pomocí Ohmova zákona:

$$ (I \cdot Z)^2 = (I \cdot R)^2 + (I \cdot X_L)^2 $$

Můžeme vyjádřit proud a následně ho odstranit. Získáváme rovnici pro výpočet impedance:

$$ Z^2 = R^2 + X_L^2 $$

Účiník – o kolik proud zaostává

V praxi je stěžejní znát, jaká je pozice napětí vůči proudu, protože to ovlivňuje, jak efektivně je síť zatížená, což znamená zbytečné přetěžování sítě, případně pokuty pro velko-odběratele, který si nehlídá kvalitu energie.

Proto zavádíme tzv účiník cosφ nám říká, o kolik je proud zpožděný za napětím. Pokud jsou ve fázi, máme čistě odporovou zátěž cosφ=1. Jakmile se přidá reaktance (cívka nebo kondenzátor), proud se buď zpožďuje, nebo předbíhá a účiník klesá.

Účiník je přímo spjatý s fázovým posunem, fázový posuv je posun proudu vůči napětí ve stupních.

• Fázový posun (úhel mezi napětím a proudem od -90° do 90°)
• Účiník (číslo, které dostaneme jako kosinus toho úhlu. nabývá hodnot od -1 do 1)

Abychom si odvodili účiník, nakreslíme si trojúhelník odporů, pravoúhlý trojúhelník složený z reálné složky (odporu) a imaginární složky (reaktance). Přepona je výsledná impedance. Účiník se značí cosφ úhel je mezi odporem a impedancí. Pomocí goniometrických funkcí je pak účiník dán vztahem:

$$ \cos(\varphi) = \frac{R}{|Z|} $$