Hvězda / Trojúhelník

Předchozí článek byl o tom, proč používáme třívodičový systém. Text jsme však zakončili obrázkem, kde byly vodiče čtyři, i když vedení vysokého napětí má opravdu jen tři vodiče. Pojďme si tedy vysvětlit, jak to s tím třífázovým systémem vlastně je.

V posledním povídání také zaznělo, že když zapojíme konce fází do jednoho uzlu, říkáme tomu zapojení do hvězdy. V tomto zapojení můžeme naměřit dva druhy napětí:

• Fázové napětí – mezi fázovým vodičem a středním vodičem.
• Sdružené napětí – mezi dvěma fázovými vodiči.

Pomocí druhého Kirchhoffova zákona jsme určili rovnici, že sdružené napětí je dáno rozdílem fázových napětí:

$$U_s = U_1 – U_2$$

Když tuto rovnici aplikujeme na fázorový diagram, získáme fázor sdruženého napětí. Pokud bychom rýsovali přesně a délku fázoru U¹ zvolili podle napětí v zásuvce jako 230 mm, naměřili bychom, že sdružená hodnota má přibližně 400 mm. Přesný poměr je:

$$\frac{U_s}{U_f} = \sqrt{3}$$

Zapojení do trojúhelníka

Zapojení do hvězdy si nechal patentovat M. Dolivo-Dobrowolsky, a spolu s ním i zapojení do trojúhelníka. To se realizuje tak, že se spojí začátky a konce fází do smyčky, vinutí tak nemá vyvedený střední vodič.

Označme si uzly v trojúhelníku 1 až 3. Budeme předpokládat, že se jedná o vinutí zdroje, například transformátoru. Abychom zachovali orientaci, bude směr proudu směřovat pryč od zdroje. Proudové fázory budou mít indexy podle uzlů. V zapojení do trojúhelníka měříme pouze sdružené napětí mezi uzly, značené například jako U₁₂. Napětí na vinutí má stejnou orientaci jako napětí mezi vodiči, ale protože se jedná o vinutí zdroje, bude proud v opačném směru než napětí.

Rozdíl mezi fázovým a sdruženým proudem

Zapojení do trojúhelníka má tedy jedno napětí (sdružené), ale dva proudy:

• Fázový proud – proud vinutím. I₁₂
• Sdružený proud – proud ve vedení.I₁

Vztah mezi nimi odvodíme z 1. Kirchhoffova zákona pro uzel 1:

$$I_{12} – I_{31} = I_1$$

I když máme zapojení do trojúhelníka, proudy ve vinutí tvoří symetrický třífázový systém. Od vektoru I₁₂ odečteme I₃₁, a dostáváme proud I₁, který teče vedením. Pokud má fázový proud efektivní hodnotu 10 A, pak sdružený proud má:

$$I_s = \sqrt{3} \cdot I_f \approx 17{,}3 \text{ A}$$

Využití zapojení do hvězdy a trojúhelníka

Zapojení do hvězdy je typické pro rozvod a distribuci elektrické energie. V rozvodu nízkého napětí se střední vodič využívá pro jednofázové spotřebiče. Proto na sloupech nízkého napětí vidíte čtyři vodiče. U vyšších napětí (22 kV, 110 kV, 220 kV, 400 kV) má hvězda jiný smysl: vinutí je méně izolačně namáháno, protože na něm je pouze fázové napětí, ne sdružené. Transformátor tak lépe vydrží. Kam se ale poděl střední vodič?

 

U vysokého napětí se střední vodič může:

• uzemnit přímo,
• uzemnit přes odpor,
• uzemnit přes tlumivku,
• nebo se vůbec nevyvádí.

Záleží na tom, jak důležitá a chráněná je konkrétní linka.

Zapojení do trojúhelníka se běžně používá například u elektromotorů. Důvody:

• při stejném výkonu teče vinutím menší proud ⇒ nižší tepelné ztráty,
• motor má vyšší moment ⇒ „víc zabere“. Větší napětí → větší proud → silnější magnetické pole → větší moment

Na druhou stranu, motor při zapojení do trojúhelníka vykazuje vyšší proudový náraz, který může vyhodit jistič. Proto se motory při rozběhu často zapojují nejprve do hvězdy, kdy se motor roztoží bez zátěže a teprve po roztočení přepnou do trojúhelníka, kde se motor už může plně zatížit.

Výkon třífázového proudu

V této části se podíváme, jak spočítat zdánlivý výkon S. Pokud je zátěž symetrická. Pokud bychom měli tři nezávislé jednofázové systémy můžeme použít vzorec:

$$S = S_1 + S_2 + S_3$$

Jednofázový výkon se vypočte:

$$S_1 = U \cdot I$$

Pokud jsou všechny výkony identické, můžeme psát:

$$S = 3 \cdot U \cdot I$$

Jenže ve skutečném třífázovém systému máme u hvězdy dvě hodnoty napětí a jeden proud, zatím co u trojúhelníku dvě hodnoty proudu a jedno napětí. Řešením je využít přechod na sdružené hodnoty. V trojúhelníku máme jen jedno napětí a fázový proud na vinutí převedeme na sdružený podělením √3:

$$S = 3 \cdot U_{12} \cdot \frac{I_1}{\sqrt{3}}$$

Rozšíříme zlomkem rozšířenou jedničkou, abychom se mohli zbavit odmocniny ve jmenovateli:

$$S = 3 \cdot U_{12} \cdot \frac{I_1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Po úpravě:

$$S = \sqrt{3} \cdot U_{12} \cdot I_1$$

Stejný výsledek dostaneme i u hvězdy, i když vstupní veličiny se liší. Když budeme mít na mysli, že se jedná o sdružené hodnoty použijeme obecné značení bez indexů, dostaneme univerzální vztah:

$$S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \quad \text{(VA)}$$

Činný a jalový výkon

Pro činný a jalový výkon použijeme obdobné vztahy:

$$P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\varphi \quad \text{(W)}$$

$$Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin\varphi \quad \text{(var)}$$

Shrnutí

Třífázová soustava je základem dnešního rozvodu a distribuce elektrické energie. Díky ní lze:

• efektivně přenášet výkon na velké vzdálenosti
• provozovat motory
• optimalizovat velikost proudů a tím snižovat ztráty
• kombinovat jednofázové a třífázové spotřebiče v jedné síti