Efektivní hodnota proudu

V předchozím článku jsme si představili střídavý proud v elektrické síti, který má sinusový průběh o frekvenci 50 Hz. Řekli jsme si také, že pokud k němu přidáme ještě maximální hodnotu proudu, můžeme pomocí rovnice určit okamžitou hodnotu proudu v libovolném čase.

Pokud se ale chceme pustit do výpočtů ve střídavých obvodech, nebude nás zajímat ani maximální, natož pak okamžitá hodnota. Místo toho použijeme velikost proudu, která odpovídá účinku stejnosměrného proudu. Tuto hodnotu nazýváme efektivní.

Co tím vlastně myslím? Kdybychom ohřívali vodu ve varné konvici, a jednou by skrze spirálu protékal 1 A stejnosměrného proudu a podruhé 1 A efektivního střídavého proudu, výsledkem bude stejně teplý čaj. Efektivní hodnota má tedy stejný fyzikální účinek jako proud stejnosměrný.

Jak dopočítat efektivní hodnotu proudu?

Z hlediska energie musíme do čaje dodat určité množství práce – tedy po nějakou dobu dodávat výkon. Výkon můžeme vyjádřit jako součin napětí a proudu. Pokud se však chceme bavit jen o proudu, dosadíme do vzorce Ohmův zákon a dostáváme, že výkon je roven součinu odporu a druhé mocniny proudu:

$$ P = R \cdot i^2 $$

Protože jsme ve světě střídavého proudu, i značí okamžitou hodnotu proudu.

Když si tento výkon vyneseme do grafu, na vodorovné ose bude čas a na svislé okamžitý proud (červeně) a výkon (žlutě). Plocha pod žlutou křivkou odpovídá energii, která se do čaje postupně „lije“. Abychom našli ekvivalentní stejnosměrný výkon, musíme sinusový průběh výkonu nějak „zarovnat“, aby měl konstantní hodnotu.

Pomůže jednoduchá grafická úvaha: rozřízneme žlutou sinusovku napůl a vrcholky přeskládáme do jejích minim. Výsledkem je obdélníkový průběh výkonu se stejnou plochou. 

Tento nový výkon má poloviční hodnotu oproti maximálnímu výkonu sinusovky:

$$ P_{\text{ekv}} = \frac{P_{\text{max}}}{2} $$

Z toho vyjádříme efektivní proud:

Chceme teď najít stejnosměrný proud, který by vytvořil právě tento výkon. Pro konstantní proud platí:

$$ P_{\text{ekv}} = R \cdot I_{\text{ekv}}^2 $$

A protože:

$$ P_{\text{max}} = R \cdot I_{\text{max}}^2 $$

Můžeme rovnici přepsat jako:

$$ R \cdot I_{\text{ekv}}^2 = \frac{R \cdot I_{\text{max}}^2}{2} $$

Odpory se vykrátí a dostáváme:

$$ I_{\text{ekv}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}} $$

Závěr

Tento proud je primární hodnota, se kterou budeme v elektrických obvodech pracovat. Pokud nebude výslovně řečeno jinak, vždy se ve výpočtech se střídavým proudem používá právě efektivní hodnota.

A protože efektivní proud je ten, který nás zajímá nejvíc, zbavíme se nadbytečného indexu a píšeme jednoduše:

$$ I = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}} $$