Elektromagnetismus v kostce

Tento článek uzavírá velkou kapitolu elektrostatiky a magnetismu. Než se pustíme do následující kapitoly o střídavých proudech, zopakujeme si klíčové body a přidáme několik dalších, abychom si vytvořili ucelený obrázek o proudovém, elektrickém a magnetickém poli a jejich analogiích.

Tok

První vlastností pole, se kterou začneme, je tok. Když to vezmeme úplně od základů, můžeme si vzít tok vody, protože ten si každý z nás dokáže představit. Pokud bychom molekuly vody nahradili elektrony, dostáváme slušný příměr k elektrickému proudu, byť ve skutečnosti tok elektrického proudu a proud elektronů mají z historických důvodů opačný směr.

Takže tokem v proudovém poli je tedy elektrický proud, značený I, s jednotkou A (ampér). Tok elektrického pole značíme symbolem Ψ (psí) a jeho jednotkou je C (coulomb).

Představme si, jak se elektrický tok chová na příměru s vanou. Vana bude mít kohoutek na jedné straně a odtok na straně druhé. Pokud si odmyslíme vliv stěn vany na skutečný tok vody, proud vody by se pod kohoutkem roztříštil rovnoměrně do všech stran. Na straně odtoku by ideálně všechna voda rovnoměrně proudila do odtoku. Identické pole představuje rozložení dvou bodových nábojů. Elektrickému poli říkáme tzv. zřídlové, což je jen starší název pro pramen vody. Siločáry nám právě ukazují, jak proudí ze zdroje (zřídla / kladného náboje) do odtoku (záporného náboje).

Siločáry magnetického pole se liší, pole je takzvané vírové, to znamená, že se siločáry uzavírají samy do sebe. Tok značíme písmenem Φ (fí) s jednotkou Wb (weber).

Představit si tok vody nebo elektrický proud pomocí elektronů je poměrně jednoduché, ale co „teče“ v poli elektrickém nebo magnetickém, které může být i ve vakuu? Ve skutečnosti není podstatné, co teče, ale pouze jak to teče, a právě proto si stačí pamatovat, že elektrické pole je zřídlové a magnetické pole vírové.

Hustota toku

Tok je nějaké množství, které protéká plochou, opět si to nejlépe představíme na toku vody. Tok vody je množství, které se korytem řeky přesune za určitý čas, proto se průtok běžně udává v litrech za sekundu. Stejný princip platí i pro elektrický proud: je to množství nábojů, které projde průřezem vodiče za jednotku času. Proto lze jednotku proudu, ampér, rozepsat jako coulomb za sekundu.

Jenže tok popisuje celkový přesun skrz danou plochu. Co když nás ale zajímá tok v konkrétním bodě? Pak se ptáme na hustotu toku. Pokud chceme znát průměrnou hustotu toku plochou, stačí celkový tok, například proud, vydělit plochou vodiče. Tím získáme proudovou hustotu, kterou se značí písmenem J. Například u vodičů se běžně uvádí, kolik proudu lze „napěchovat“ do jednoho milimetru čtverečního, aniž by se vodič začal nebezpečně zahřívat.

Hustotu elektrického toku dostaneme podobně, tok Ψ vydělíme plochou a získáme elektrickou indukci D (v jednotkách C·m⁻²). Elektrickou indukci jsme si dříve představili jako elektrické pole bez vlivu prostředí, tedy bez přesunu vázaných nábojů v dielektriku.

U magnetického pole opět vydělíme tok Φ plochou a dostaneme magnetickou indukci B, která se udává v teslech (T). To, že lze magnetickou indukci chápat jako hustotu magnetického toku, potvrzuje i fakt, že v anglicky mluvících zemích se běžně používá termín magnetic flux density – hustota magnetického toku.

Shrnutí: Hustoty toku jsou vlastnosti polí v konkrétním bodě, zatímco samotné toky představují souhrnné veličiny, tedy součet bodových vlastností přes celou plochu. U proudového pole tou plochou myslíme průřez vodiče, u magnetického pole například průřez jádrem transformátoru a u elektrostatického pole třeba plochu desek kondenzátoru.

Co dává toku pohyb?

Aby voda tekla, potřebujeme nějaký tlak. Voda teče z kopce, protože na ni působí gravitace. Ze stříkačky vystřikuje proto, že tlačíme na píst. Elektrickým tlakem, který dodává elektronům energii, je elektrické napětí U, jehož jednotkou je volt (V).

Stejné napětí, které pohání elektrický proud, zároveň vytváří i elektrický tok Ψ. Ať už měříme mezi deskami kondenzátoru nebo na koncích vodiče, kterým teče proud, vždy najdeme nějaké napětí.

Zdrojem magnetického toku je magnetické napětí, které vzniká proudem tekoucím cívkou. Jeho jednotkou je ampér (A). Podobně fungují i permanentní magnety, jejich magnetické pole vytvářejí tzv. vázané proudy, což jsou myšlené proudy vzniklé součtem atomárních proudů rotujících kolem jader v jednom směru.

Pokud výpočty provádíme přes bodové vlastnosti pole, musíme znát směr vektoru a dráhu, po které tyto příspěvky sčítáme. To je výpočetně i myšlenkově náročnější. Právě proto je napětí tak praktické, je to skalární veličina, a tedy se dá jednoduše sčítat bez ohledu na směr.

Strmost pole

Elektrické napětí jsme si přirovnali k elektrickému tlaku. Další užitečný příměr je převýšení. V elektrickém obvodu totiž proudí náboj z vyššího potenciálu do nižšího, podobně jako voda teče z kopce dolů.

Představme si kopec: můžeme na jeho vrchol vystoupat různými cestami. Vždy dosáhneme stejného převýšení, ale jedna cesta může být delší a mírnější, druhá kratší a prudší. To co cesty rozlišuje je průměrná strmost.

Hledáme tedy „elektrickou strmost“, tedy to, jak rychle se mění napětí v určitém směru. Touto strmostí je intenzita elektrického pole E. V proudovém poli může být takovou dráhou vzdálenost mezi kontakty baterie, u elektrostatického pole například vzdálenost mezi deskami kondenzátoru.

U magnetického pole odpovídá strmosti intenzita magnetického pole H. A pokud bychom si chtěli představit nějakou dráhu, po které tyto intenzity sčítáme, mohou to být třeba konce permanentního magnetu.

Vliv prostředí

Představme si vodič, který vystavíme elektrickému poli, nebo na jeho konce připojíme napětí. Vodičem začne téct elektrický proud. Na tom, jak velký proud poteče, se podílí dvě věci: intenzita elektrického pole a materiál, ze kterého je vodič vyroben. Abychom mohli kvantitativně popsat vztah mezi intenzitou a proudem, potřebujeme přejít od proudu jako celku k proudové hustotě J, tedy proudu na jednotku plochy. Zavedeme proto měrnou elektrickou vodivost γ (gamma) (jednotka: S/m; Siemens na metr), která charakterizuje vodivost daného materiálu. Pak platí vztah:

$$J = \gamma \cdot E$$

Tedy: proudová hustota je úměrná intenzitě elektrického pole, přičemž konstantou úměrnosti je právě vodivost materiálu.

Materiálová konstanta, která uvádí jak dobře teče elektrický tok v dielektriku je permitivita ε (F⋅m−1). Tedy jakou elektrickou indukci vytvoří elektrické pole E.

$$E \cdot \epsilon = D$$

Ekvivalentní vodivost pro magnetické pole je permeabilita μ (H⋅m−1) a vztah mezi polem bez vlivu prostředí H a polem s vlivem prostředí B pak je:

$$H \cdot \mu = B$$

Realita nebo fikce?

Člověk se často trápí s chápáním elektromagnetického pole a my nyní máme dokonce dvě sady veličin jak pro elektrické, tak pro magnetické pole: $$\vec{E},\ \vec{D},\ \vec{H},\ \vec{B}$$
Jaká je vlastně fyzikální podstata těchto veličin? Středoškolské učebnice s opodstatňováním veličin nakračují opatrně. Proto bych zde shrnul text z učebnic elektromagnetismu ze slovenského bratislavského matfyzu, který vysvětluje pozadí za těmito jednotkami (Tirpák).

I tam totiž najdeme varování:

„Aj skúsenému fyzikovi spôsobuje ťažkosti si pod týmito vektormi niečo konkrétne predstaviť.“

A tak se možná nabízí jiný přístup:
Nepovažujme tyto veličiny za zjevené fyzikální pravdy, ale za nástroje, které nám umožňují popisovat svět tak, aby to šlo spočítat, předpovědět a občas i pochopit. Některé veličiny, jako intenzita pole E nebo magnetická indukce B si dokážeme aspoň trochu představit jako šipky kolem nábojů nebo magnetů. Jiné, jako D nebo H jsou spíš účelové berličky, které usnadňují zápis rovnic a popis chování materiálů.

To ale neznamená, že jsou méně důležité. Vektor D třeba umožňuje jednoduše oddělit vliv prostředí od samotného pole. Můžeme sice vést hluboké filozofické debaty o tom, co přesně znamená „posun“ nábojů v dielektriku, ale na konci dne je důležitější, že výpočty s tímto vektorem fungují.

A když něco funguje, fyzici si s tím vystačí, i když to občas vypadá, že si jen přehazují indexy a jednotky jako horký brambor.

Takže pokud vám některé z těchto veličin přijdou neuchopitelné, tak klid. Nejste v tom sami. MOžná si ani Maxwell pod vektorem D nic moc konkrétního nepředstavil. Ale právě díky těmto „berličkám“ můžeme postavit elektrárnu, navigaci i mikrovlnku. A to už je slušný výsledek na něco, co je možná jen matematická fikce.

Ohmův zákon v bodovém tvaru

Zmínili jsme si vztah mezi intenzitou pole a proudovou hustotou pomocí měrné vodivosti.

$$J = \gamma \cdot E$$

I když se to na první pohled nezdá, právě tohle je Ohmův zákon. Měrná vodivost obecně popisuje vlastnost materiálu, zatímco proudová hustota i intenzita elektrického pole jsou vlastnosti pole v bodě.

Ohmův zákon běžně používáme pro vodič, který má nějaký průřez a délku. Pokud intenzitu pole vynásobíme délkou vodiče, dostaneme napětí. Pokud proudovou hustotu vynásobíme průřezem, získáme proud. Převrácená hodnota měrné vodivosti je měrný odpor, a ten se při matematických úpravách přelije do podoby odporu R s jednotkou Ω (Ohm).

$$R = \frac{U}{I}$$

Odpor

Získali jsme tedy vztah pro odpor v proudovém poli. Odpor vodiče můžeme vyjádřit buď pomocí měrného odporu ρ, nebo pomocí měrné vodivosti γ:

$$R = \rho \cdot \frac{l}{S} = \frac{l}{\gamma \cdot S}$$

Vztah s vodivostí je často praktičtější, protože se analogicky používá i pro elektrické pole. Tam hraje roli tzv. permitivita ε, což je míra „vodivosti“ pole v dielektriku:

$$R_e = \frac{l}{\varepsilon \cdot S}$$

Kde l je vzdálenost mezi deskami a S plocha desek kondenzátoru.

Pro magnetické pole získáme obdobný vztah, kde měrnou vodivost nahradíme permeabilitou μ, což je schopnost materiálu vést magnetické pole:

$$R_m = \frac{l}{\mu \cdot S}$$

Délkou rozumíme délku magnetického obvodu (např. v jádře transformátoru), a plochou jeho průřez.

Závěr

Máme čtyři druhy polí, asi pět druhů „tlaku“, několik různých „toků“ a jednotky, které si pamatuje málokterý elektrotechnik. Jestli vám z toho šla hlava kolem, znamená to, že jste četli pozorně. Přesto doufám, že se mi v článku (nebo videu) podařilo vytvořit alespoň základní mapu, která naznačila spojitosti napříč jednotlivými poli.