Magnetická indukce

Doposud jsme magnetické pole popisovali laicky pomocí kovových pilin a siločar. Řekli jsme si, že magnetické pole má směr a že tam, kde jsou siločáry hustší, je pole silnější. To platí i pro pole elektrické. Oproti elektrickému poli se ale siločáry magnetického pole uzavírají samy do sebe. Teď tedy pokročíme dál a zavedeme si veličinu, která konkrétně popisuje hustotu magnetického pole, nazýváme ji magnetická indukce, značena písmenem B a jednotkou T (Tesla).

Magnetickou indukci si můžeme odvodit z minulého článku pomocí Flemingova pravidla levé ruky. To popisuje silové působení magnetického pole na vodič. Konkrétní síla se vypočítá ze vztahu:

$$F = B \cdot I \cdot l$$

kde B je magnetická indukce, I proud a l délka vodiče v magnetickém poli. Vyjádřením B získáme:

$$B = \frac{F}{I \cdot l}$$

Tím si magnetickou indukci můžeme definovat jako mohutnost silového účinku magnetického pole na elektrický proud. Pokud na 1 metr dlouhý vodič, kterým teče proud 1 ampér, působí síla 1 newton, říkáme, že toto homogenní magnetické pole má magnetickou indukci 1 tesla (T).

Hodnoty tesly ve světě

S hodnotou 1 T se můžeme setkat například u neodymových magnetů nebo v magnetických obvodech elektrických strojů – motory a transformátory běžně pracují s touto úrovní indukce. Magnetické pole Země je přibližně 50 μT – to je sice o pět řádů méně než u neodymu, ale stále dostatečné na to, aby natočilo střelku kompasu a chránilo Zemi před slunečním zářením.

Vlastnosti magnetické indukce

Magnetická indukce je vektor, což znamená, že má velikost i směr. Její směr ale není „ke zdroji“, jako u elektrického nebo gravitačního pole. Vektor B je kolmý ke směru proudu – např. teče-li proud vodičem směrem od nás, pole se kolem vodiče šíří ve směru hodinových ručiček. Vložíme-li do takového pole kompas, střelka se natočí vždy kolmo k vodiči.

Vzorec F = B · I · l platí pouze tehdy, když je vodič kolmý na siločáry magnetického pole. Pokud je pod úhlem, počítá se pouze kolmá složka.

Proto se vztah často přepisuje vektorově jako:

$$\mathbf{F} = I \cdot (\mathbf{l} \times \mathbf{B})$$

A protože proud I je Q/t, můžeme psát:

$$\mathbf{F} = \frac{Q}{t} \cdot (\mathbf{l} \times \mathbf{B})$$

když převedeme čas pod dráhu dostaváme rychlost:

$$\mathbf{F} = Q \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$$

Tento vztah popisuje sílu působící na jeden náboj Q, který se pohybuje rychlostí v v poli B. Z toho si magnetickou indukci můžeme definovat jako schopnost magnetického pole působit silou na pohybující se náboj, přičemž směr síly je kolmý jak na směr pohybu náboje, tak na vektor magnetického pole.

Biot–Savartův zákon

Pokročilejší metodou pro výpočet magnetického pole vytvářeného proudem je Biot–Savartův zákon. Svým tvarem sice přesahuje úroveň střední školy, ale měl by být alespoň zmíněn. Je stejně důležitý pro magnetické pole, jako je Coulombův zákon pro pole elektrické. Umožňuje vědcům nejen magnetická pole pozorovat, ale i navrhovat – tedy například přesně spočítat vinutí cívek pro požadovaný tvar pole. Byl to klíčový krok směrem k ovládnutí magnetismu a základ všeho od motorů po reproduktory.

Biot–Savartův zákon popisuje, jak každý malý úsek vodiče přispívá k celkovému magnetickému poli. Jeho přínos je zásadní zejména tam, kde vodič není rovný například u smyček, závitů a cívek. Zákon říká, že čím větší proud vodičem teče a čím blíže se nacházíme k jeho úseku, tím větší příspěvek k poli vzniká.

$$
\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\boldsymbol{\ell} \times \hat{\mathbf{r}}}{|\mathbf{r}|^2}
$$

\begin{array}{ll}
\mathbf{B}(\mathbf{r}) & \text{Vektor magnetické indukce (magnetického pole) v místě } \mathbf{r} \\
\mu_0 & \text{Permeabilita vakua (konstanta: } 4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{N/A^2}) \\
I & \text{Elektrický proud procházející vodičem} \\
d\boldsymbol{\ell} & \text{nekonečně krátký úsek délky vodiče (směr určuje směr proudu)} \\
\hat{\mathbf{r}} & \text{Jednotkový vektor ve směru od elementu } d\boldsymbol{\ell} \text{ k bodu } \mathbf{r}, \text{ kde pole počítáme} \\
\times & \text{Vektorový součin – určuje směr výsledného pole podle pravidla pravé ruky}
\end{array}