Řazení odporů a Kirchhoffovy zákony

V předchozím díle jsme řešili Ohmův zákon. Ten popisuje, jak je v obvodu nebo i na jediné součástce provázány napětí, proud a odpor. Tento zákon se bude v příběhu elektroniky stále vracet, proto jsem ho nazval prvním pilířem elektrotechniky. Druhým takovým zákonem, který budeme často zmiňovat, jsou Kirchhoffovy zákony. Ty obecně popisují, jak se v obvodu dělí napětí a jak se dělí proud.

První Kirchhoffův zákon

První, nebo lépe řečeno proudový Kirchhoffův zákon, mluví o tom, že elektrický náboj nelze zničit ani vytvořit. Když do obvodu pomocí zdroje pumpujeme nějaké množství elektrického náboje, bude v obvodu v součtu vždy přesně toto množství. Když mluvíme o náboji v obvodu, tak máme na mysli jeho pohyb, což se v obvodu popisujeme jako elektrický proud. Ekvivalentně by tedy šlo říct, že ať pumpujeme jakýkoliv objem proudu do obvodu, v součtu bude v obvodu vždy právě tento objem. Definice proudového Kirchhoffova zákona zní:

Algebraický součet proudů vstupujících do uzlu se rovná algebraickému součtu proudů z uzlu vystupujících.

$$I_1 = I_2$$

Elektrický proud si můžeme představit jako proud vody. Popišme si definici na základě vodní analogie. Máme čerpadlo, které do obvodu pumpuje proud vody o objemu 10 l/s. V obvodu nakreslím uzel, což je v takto prostém obvodu v podstatě jakékoliv místo. Když do něj teče proud 10 l/s, tak se nemá kde ztratit ani vzniknout, takže z uzlu poteče opět 10 l/s. Kdyby se nyní v uzlu obvod rozdělil do dvou větví, tak sice nevíme, v jakém poměru bude proud téct v jednotlivých větvích, ale když do uzlu teče 10 l/s, můžeme si být jistí, že součet dvou proudů bude opět 10 l/s. 

S elektrickým proudem to funguje úplně stejně. Pouštíme-li do obvodu proud o velikosti 10 A (A = Q/s), tak tento proud bude v obvodu zachován, nemůže se žádný ztratit ani přibýt. Vůbec nezáleží na tom, jaké součástky jsou v obvodu, jak jsou poskládané nebo jak se obvod dělí. Pokud je v obvodu jeden zdroj a z něj teče 10 A, přesně těchto 10 A se v obvodu rozloží. Druhá, možná trochu méně praktická definice prvního Kirchhoffova zákona zní:

Algebraický součet proudů vstupujících a vystupujících z uzlu se rovná nule.

$$I_1 + I_2 = 0$$

I když častěji budeme využívat první definici, na té druhé se lépe vysvětluje, co znamená pojem algebraický. Představme si jednoduchý uzel, do kterého teče 10 A a z něho vytéká 10 A. Kdybychom hodnoty prostě dosadili, dostaneme rovnici

$$10 + 10 = 0$$

což je samozřejmě nesmysl. Slovo algebraický tedy znamená, že záleží i na znaménkách. Správně proto je rovnice v tomto tvaru

$$+10 + (-10) = 0$$

Pak už rovnice vychází správně. I když je určení znamének trochu umělé, držme se například pravidla, že proud, který do uzlu vstupuje, budeme značit kladně, a proud, který z uzlu vystupuje, budeme značit záporně.

Druhý Kirchhoffův zákon

Druhý je vyjádřením zákona zachování energie. V sérii základů jsme se poměrně do hloubky věnovali tomu, že napětí vyjadřuje, kolik práce dokáže vykonat jednotkový náboj. Opět to zkusíme pomocí analogie s vodou, kde místo elektrického náboje budeme mít objem vody a místo napětí výšku. Abychom měli šanci analogii lépe procítit, zabalíme množství vody do balónku a budeme si ho dávat nad hlavu. Pokud bude balónek s vodou jen pár centimetrů nad hlavou, asi nám nic moc neudělá. Když bude dva metry vysoko, už to bude slušná rána. A když to budou desítky metrů, bude situace život ohrožující. Přitom máme po celou dobu stále stejné množství vody, mění se pouze výška, ve které balónek je. Abychom vodu dostali do této výšky, musela být vykonána práce. musela být vykonána práce. A přesně toto množství práce balónek předá naší hlavě (pokud budeme ignorovat tření a podobně). Výška tedy říká, kolik energie může voda předat, úplně stejně jako napětí říká, kolik energie může předat elektrický náboj. Napětí můžeme chápat jako energii připadající na jeden coulomb náboje.

Zdroj dodá náboji energii podle toho, na jaké napětí je nastaven. A tato energie se musí v obvodu přesně spotřebovatv. Druhý Kirchhoffův zákon tedy říká, že kolik energie zdroj náboji dodá, tolik energie náboj v obvodu zase odevzdá, ani víc, ani míň.

Korektní definice pak zní:

Algebraický součet napětí na zdrojích v uzavřené smyčce se rovná algebraickému součtu napětí na spotřebičích.

$$U_z = U_1 + U_2$$

Nebo

Algebraický součet napětí zdrojů a spotřebičů se v uzavřené smyčce rovná nule

$$U_z + U_1 + U_2=0$$

Například máme obvod, který má dva rezistory, na kterých je úbytek 5 V a 5 V. Je tedy jisté, že zdroj bude dávat 10 V. V jakém poměru se napětí na zátěžích rozdělí, už záleží na jejich odporu.

Řazení rezistorů

Spojování odporů máme v zásadě dvojího druhu: paralelní, tedy vedle sebe, a sériové, tedy za sebou. Řazení odporů, tedy způsob, jak vypočítat celkový odpor, vyplývá přímo z Kirchhoffových zákonů. Začneme situací, ve které máme vedle sebe dva rezistory. Do uzlu teče celkový proud I_C a ten se dělí na I₁ a I₂. Napišme si tedy rovnici pro první Kirchhoffův zákon:

$$I_C = I_1 + I_2$$

Nyní se chceme nějak dostat k odporu. To, co propojuje odpor a proud, je Ohmův zákon. Dosadíme proto za proudy vztah z Ohmova zákona:

$$I_C = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$$

Napětí nám v rovnici překáží, protože o něm nic nevíme a chceme se dopracovat k odporům, proto rovnici vydělíme napětím:

$$\frac{I_C}{U} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

A zlomek na levé straně přepíšeme jako převrácenou hodnotu celkového odporu. Vzorec pro výpočet celkového odporu paralelního řazení je na světě:

$$\frac{1}{R_C} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

Vidíme, že u paralelního řazení se nesčítají odpory, ale jejich převrácené hodnoty. Druhá situace. Máme sériové řazení dvou rezistorů. Druhý Kirchhoffův zákon říká, že celkový úbytek napětí je roven součtu úbytků na jednotlivých rezistorech.

$$U = U_1 + U_2$$

Opět se chceme dostat k rezistorům, a proto dosadíme Ohmův zákon za dílčí napětí:

$$U = I \cdot R_1 + I \cdot R_2$$

Proud můžeme vytknout:

$$U = I \cdot R_1 + I \cdot R_2$$

A nyní rovnici vydělíme proudem:

$$\frac{U}{I} = R_1 + R_2$$

Na levou stranu dosadíme celkový odpor:

$$R_C = R_1 + R_2$$

Celkový odpor u sériového řazení je tedy dán prostým součtem dílčích odporů.