Uzlová napětí

Každý obvod lze řešit pouze pomocí Kirchhoffových a Ohmova zákona, pro každou smyčku a každý uzel sestavíme rovnici a poté řešíme soustavu rovnic. Tento obecný postup je sice funkční, ale vede na velký objem práce, který lze zredukovat, pokud aplikujeme zmíněné zákony chytře. Jedním takovým přístupem je metoda uzlových napětí.

Co je to uzel?

Uzel určíme jako místo v elektrickém obvodu, kde jsou spojeny vývody minimálně tří součástek. V obvodu máme tři typy uzlů: referenční, ke kterému budeme vztahovat ostatní, dále závislý, tedy uzel, jehož napětí je přímo dáno napěťovým zdrojem a nakonec nezávislý, což je uzel s neznámým napětím, které budeme určovat výpočtem.

Postup

Další výhodou metody, kromě zjednodušení práce, je, že postup lze jednoznačně předepsat, tedy určit algoritmus. Pro nás bude vypadat takto:

1. Zvolte referenční uzel.
2. Dosaďte hodnoty uzlů se známým napětím.
3. Označte nezávislá uzlová napětí.
4. Libovolně zvolte směry proudů mezi uzly.
5. Pro každý nezávislý uzel sestavte Kirchhoffův zákon o proudu.
6. Vyjádřete proudy pomocí Ohmova zákona.
7. Sestavte soustavu rovnic.
8. Vyřešte ji.

Příklad

Máme zatížený dělič napětí napájený zdrojem U₁ = 10 V, R₁ = 2 Ω, R₂ = 10 Ω, R₃ = 40 Ω. Naším úkolem je spočítat napětí na zátěži R₃.

Prvním krokem je výběr referenčního uzlu, který označíme symbolem země. K tomuto bodu budeme vztahovat napětí ve zbylých větvích obvodu. Referenčním uzlem může být teoreticky kterýkoli uzel, v praxi je ale vhodné volit ten, který má buď nejvíce spojů, nebo je spojen s minusovou svorkou zdroje. Vhodným zvolením referenčního uzlu si ušetříme práci, protože nám ubyde jedna neznámá, a tím i jedna rovnice k řešení.

Za druhé dosadíme známá napětí, vrchní větev je závislá na napětí zdroje, tedy 10 V. Ve třetím kroku volíme nezávislá, jinými slovy neznámá napětí, která budeme hledat. Neznámé je napětí mezi rezistory R₁ a R₂, označíme ho jako U_A.

Za čtvrté máme zvolit směry proudů libovolně, ale v takto jednoduchém obvodu by mělo být zřejmé, jak proud poteče, tedy přes odpor R₁ do paralelní kombinace R₂ a R₃.

Následně pro každý nezávislý uzel sestavíme Kirchhoffův zákon o proudu. Zvolme přitom pravidlo, že proudy vtékající do uzlu mají kladné znaménko a proudy vytékající z uzlu záporné. Výsledná rovnice je pak

$$I_1 – I_2 – I_3 = 0$$

Šestým bodem je vyjádření proudů pomocí Ohmova zákona. Jenže neznáme úbytky napětí na jednotlivých rezistorech, proto je popíšeme jako rozdíly uzlových napětí. Tím, že jsme ve čtvrtém kroku zvolili směr proudu, jsme zároveň určili, který uzel je na vyšším potenciálu. Napětí na rezistoru pak zapíšeme jako rozdíl uzlových napětí ve směru předpokládaného proudu, vyšší od nižšího.

Proud I₁ teče ze závislého uzlu 10 V do uzlu U_A. Protože proud teče z uzlu zdroje do uzlu U_A, zapisujeme, že I₁ se rovná 10−U_A děleno R₁. Referenční napětí je 0 V, proto ho do rovnic není třeba zapisovat. Postupně takto rozepíšeme všechny proudy, až dostaneme Kirchhoffův proudový zákon v tomto tvaru:

$$\frac{10 – U_A}{R_1} – \frac{U_A}{R_2} – \frac{U_A}{R_3} = 0$$

Sestavení rovnice byl bod sedm, nyní následuje poslední krok, vyřešení rovnice. Dosadíme hodnoty odporů.

$$\frac{10 – U_A}{2} – \frac{U_A}{10} – \frac{U_A}{40} = 0$$

Vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem.

$$200 – 20 \cdot U_A – 4 \cdot U_A – U_A = 0$$

Členy s U_A sečteme a upravená rovnice má tvar:

$$200 – 25 \cdot U_A = 0$$

Převedeme 200 na druhou stranu rovnice a dostaneme:

$$25 \cdot U_A = 200$$

Vydělíme celou rovnici dvaceti pěti a výsledkem je napětí v uzlu:

$$U_A = 8\,\text{V}$$

Napětí na zátěži vyšlo 8V.

Když známe všechna uzlová napětí. Pro výpočet proudů stačí tato napětí dosadit do dříve odvozených Ohmových zákonů.

Pak vychází:

$$I_1=\frac{10 – U_A}{R_1}=\frac{10 – 8}{2}=1\,\text{A}$$
$$I_2=\frac{U_A}{R_2}=\frac{8}{10}=800\,\text{mA}$$
$$I_3=\frac{U_A}{R_3}=\frac{8}{40}=200\,\text{mA}$$