Řešení nelineárních obvodů

Všechny předchozí nástroje pro řešení elektrických obvodů fungují pouze za předpokladu, že se jedná o lineární obvod, tedy že jsou použity pouze rezistory, kondenzátory, cívky a ideální zdroje proudu nebo napětí. Jenže elektronika je plná nelineárních součástek, například diod a tranzistorů. Jejich voltampérové charakteristiky jsou různé křivé čáry, které se popisují tak složitými rovnicemi, že bychom je nebyli schopni se středoškolskou matematikou řešit. Abychom křivky nemuseli počítat, můžeme výsledné voltampérové charakteristiky sčítat graficky. A pokud bychom přeci jen na nelineární komponenty chtěli použít výpočetní nástroje, které už známe, je třeba trochu přivřít oči a charakteristiky „narovnat“ tomu se říká linearizace.

Grafická metoda

Abychom získali výslednou voltampérovou charakteristiku kombinace nelineárních součástek, sčítáme napětí nebo proudy jednotlivých voltampérových charakteristik podle toho, zda se jedná o sériové nebo paralelní zapojení.

Pokud jsou nelineární součástky zapojeny sériově, teče jimi stejný proud a celkové napětí je dáno součtem dílčích, jak říká Kirchhoffův napěťový zákon. Kirchhoffovy zákony totiž platí bez ohledu na to, zda se jedná o lineární nebo nelineární obvod.

Pro získání výsledné charakteristiky ze dvou dílčích postupujeme tak, že zvolíme jednu hodnotu proudu, protože ta je pro sériovou kombinaci shodná. Odečteme, jaké je napětí při této hodnotě proudu na dílčích charakteristikách, a tato napětí podle Kirchhoffova zákona sečteme, získáváme jeden bod z výsledné charakteristiky. Abychom získali celou charakteristiku sériové dvojice, stačí proces několikrát zopakovat pro různé proudy.

Když nás zajímá, jaké je napětí a proud na dvojici, nic nepočítáme, jen odečítáme hodnoty z grafu.

Pokud identické nelineární prvky budeme řadit paralelně, je na nich identické napětí. Zvolíme tedy jedno napětí, k němu odečteme dílčí proudy a ty sečteme podle Kirchhoffova proudového zákona, získáváme první bod výsledné voltampérové charakteristiky paralelní kombinace. Nyní stačí proces několikrát zopakovat, abychom měli charakteristiku celou.

Když srovnáme výsledné charakteristiky sériové i paralelní kombinace, pořád lze tvar zkontrolovt selským rozumem. Dává smysl, že u paralelní kombinace je při stejném napětí proud  větší než proud dílčích charakteristik, protože obecně platí, že při paralelní kombinaci je výsledný odpor menší, než nejmenší z použitých odporů.

Metoda linearizace

Pointou je vzít nelineární charakteristiku, vymezit pracovní oblast, ve které se charakteristika blíží přímce, a nahradit ji kombinací lineárních komponent, které tuto přímku popisují.

Vezmeme voltampérovou charakteristiku usměrňovací křemíkové diody, se kterou se studenti ve škole nejčastěji setkají. Ta ukazuje, že i v závěrném směru dioda propouští nějaký malý proud a že při vysokém napětí v závěrném směru dochází k proražení diody, což diodu zničí. V propustném směru ukazuje, že diodou může téct nějaký minimální proud, ale koleno křivky, tedy oblast, kdy se dioda začne opravdu otevírat, je v rozmezí 0,5–0,7 V. Však ani po otevření diody není charakteristika lineární. I když graf detailně popisuje vše, co se na diodě děje, z inženýrského pohledu se jedná o zanedbatelné jevy a charakteristiku můžeme znázornit jednodušeji.

Pak můžme popsat zlinerizovanou charakteristiku diody tak, že do napětí 0,7 V je proud diodou stále nulový, pak dochází k otevření diody a pak i malé napětí způsobí velký nárůst proudu. V dalším kroku zjednodušování si stačí uvědomit, že strmost, s jakou proud roste, je tak vysoká, že se prakticky blíží svislé čáře, takže překročení 0,7V umožňuje okamžitě téct maximálnímu proudu. A pokud pracujeme s obvodem s vysokým napětím, je zanedbatelné i prahové napětí 0,7 V. Dostáváme tak graf, kde v závěrném směru dioda nevede vůbec, zatímco v propustném směru vede okamžitě. V závěrném směru se tedy dioda chová jako dokonalý izolant a v propustném směru jako dokonalý vodič. Toto je nejjednodušší, ale zároveň nejhrubší úroveň linearizace. Podle toho, jak napětí na diodu přiložíme, ji můžeme nahradit zkratem nebo rozpojeným obvodem.

Pokud se pohybujeme na úrovni napájecího napětí, kde se 0,7 V může projevit, popíšeme charakteristiku s napěťovým offsetem 0,7 V. Která komponenta, kterou jsme zatím probrali, se chová tak, že má při jakémkoli proudu konstantní napětí? Ideální zdroj napětí. Pokud tedy bude na diodu připojeno napětí v propustném směru vyšší než 0,7 V, můžeme diodu v obvodu nahradit ideálním napěťovým zdrojem s konstantní hodnotou 0,7 V.

Pokud bychom chtěli popsat i to, že se s rostoucím proudem zvyšuje úbytek napětí na diodě, stačí do série k napěťovému zdroji přidat rezistor, i na něm roste úbytek napětí se zvýšujicím se proudem. Stačí jen z charakteristiky určit, jaký odpor zvolit.

Určení odporu z VA charakteristiky světlo-emitující diody

Máme naměřenou voltampérovou charakteristiku modré LEDky. Dioda se začíná otevírat na 2,5 V, ale prahové napětí určíme tak, že položíme přímku na voltampérovou charakteristiku tak, aby ji co nejlépe kopírovala. Přiložená přímka protíná osu napětí na 2,8 V, to bude naše prahové napětí, zároveň napětí náhradního zdroje. Nyní zbývá určit velikost odporu, protože ten určuje strmost přímky.

Strmost popisuje například to, že za jeden metr délky nastoupáme 10 cm výšky. Na voltampérové charakteristice strmost popisuje, o kolik vzroste proud, pokud zvýšíme napětí o 1 V. Vyjadřuje tedy, jaký rozdíl napětí způsobí jaký rozdíl proudu. Pro určení rozdílu potřebujeme dva body, zvolíme například 3 V; 12,8 mA a 3,2 V; 24,9 mA.

Změně 0,2 V odpovídá změna 12 mA. Tyto změny dosadíme do Ohmova zákona:

$$R_d = \frac{\Delta U}{\Delta I} = \frac{0{,}2}{0{,}012} = 16{,}6 \ \Omega$$

Odpor 16,6 Ω dáme do série se zdrojem napětí 2,8 V a máme linearizovaný model diody.

Příklad

Máme obvod napájený 5 V. Modrá LED je nahrazena sériovou kombinací odporu 16,6 Ω a ideálního zdroje napětí 2,8 V. Maximální proud LEDkou může být 25 mA. Jaký proud obvodem teče?

Sestavím rovnici podle Kirchhoffova napěťového zákona pro jednoduchou smyčku:

$$-U_Z + U_{Rd} + U_{Zd} = 0$$

Nahradím Ohmovým zákonem, kde to lze:

$$-U_Z + R_d \cdot I_A + U_{Zd} = 0$$

Dosadím známé hodnoty:

$$-5 + 16{,}6 \cdot I_A + 2{,}8 = 0$$

$$I_A = 132 \ \text{mA}$$

Pro omezení proudu musíme přidat předřadný rezistor. Zvolíme proud, který chceme LEDkou pustit, například 20 mA. I_A je nyní známá hodnota, neznáme hodnotu předřadného odporu. Rozšíříme původní rovnici smyčky o úbytek napětí na tomto odporu:

$$-U_Z + U_{Rd} + U_{Zd} + U_R = 0$$

Nahradím napětí Ohmovým zákonem tam, kde je to možné:

$$-U_Z + R_d \cdot I_A + U_{Zd} + R \cdot I_A = 0$$

Dosadím známé hodnoty:

$$-5 + 16{,}6 \cdot 0{,}02 + 2{,}8 + R \cdot 0{,}02 = 0$$

$$R = 93{,}4 \ \Omega$$

Obvod realizujeme skutečným rezistorem 100 Ω, proud tak bude na bezpečnější / nižší úrovni.

Využití v praxi

Linearizované modely komponent jsou standardním nástrojem v popisováním světa elektroniky. Jen stačí mít na mysli, že model popisuje chování komponenty jen v nějaké pracovní oblasti a pak můžeme i tak složité součástky jako je tranzistor nebo operační zesilovač popsat linearizovaným modelem.