Smyčkové proudy

V předchozím článku jsme si představili metodu uzlových napětí, která spočívá v určení nezávislých uzlů. Pro každý takový uzel sestavíme rovnici pomocí Kirchhoffova proudového zákona, kolik nezávislých uzlů, tolik rovnic k řešení. Druhou obdobnou metodou je metoda smyčkových proudů. Zde určíme nezávislé smyčky, popíšeme je Kirchhoffovým napěťovým zákonem a řešíme tolik rovnic, kolik máme nezávislých smyček. Ať je topologie obvodu jakákoliv, obě metody jsou použitelné, ale rozdíl v úspoře práce může být značný.

Co je to smyčka?

Jakákoliv uzavřená cesta je smyčka, ale my hledáme takovou smyčku, kterou už není možné dělit na menší, tu nazýváme jednoduchou. Smyčky mohou být buď závislé, nebo nezávislé. U závislých je smyčkový proud přímo definován proudovým zdrojem. Rovnice sestavujeme pouze pro nezávislé smyčky, tedy takové, ve kterých jsou pouze rezistory nebo napěťové zdroje.

Postup

1. Označte všechny jednoduché smyčky v obvodu.
2. Každé smyčce přiřaďte smyčkový proud.
3. Pro každou nezávislou smyčku sestavte Kirchhoffův napěťový zákon.
4. Vyjádřete napětí za pomocí Ohmova zákona.
5. Sestavte soustavu rovnic.
6. Vyřešte ji.
7. Ze smyčkových proudů určete skutečné proudy v obvodu.

Příklad

Máme zatížený dělič napětí napájený zdrojem U₁ = 10 V, R₁ = 2 Ω, R₂ = 10 Ω, R₃ = 40 Ω. Máme spočítat napětí na zátěži R₃.

V prvním kroku označíme nejmenší možné smyčky A a B. Dále přiřadíme smyčkám proudy I_A a I_B, přičemž směr může být libovolný. Na konkrétním směru nezáleží, pokud bychom zvolili opačnou orientaci, projeví se to pouze tím, že výsledný proud vyjde se záporným znaménkem, což nám řekně, že skutečný proud teče naopak.

V kroku tři sestavíme rovnice pro jednotlivé smyčky pomocí Kirchhoffova napěťového zákona. Smyčku vždy procházíme ve směru zvoleného proudu a postupně zapisujeme napětí na jednotlivých prvcích.

Přičemž platí následující pravidla:

• U zdrojů záleží na orientaci, tedy jestli je napětí zdroje proti směru smyčky, nebo ve směru smyčky. Pokud je ve směru (smyčka prochází od plus svorky zdroje k mínusové), zapisujeme napětí jako kladné. Pokud je smyčka v protisměru napětí zdroje, píšeme mínus.
• U rezistoru jako spotřebiče je směr napětí dán směrem smyčkového proudu, proto napětí na rezistoru vždy zapisujeme kladně.

Pokud u smyčky A začneme zdrojem, pak má Kirchhoffův zákon tvar:

$$-U_z+U_1+U_2=0$$

Pro smyčku B platí:

$$U_3+U_2=0$$

Ve čtvrtém kroku nahradíme napětí pomocí Ohmova zákona. Napětí zdroje nemáme jak nahradit, zůstává. Napětí na rezistoru R₁ vyjádříme jako součin odporu R₁ a smyčkového proudu I_A. U rezistoru R₂ si musíme dát pozor, protože tento rezistor je sdílený oběma smyčkami. Napětí na rezistoru určují oba smyčkové proudy, kdyby byly proudy ve shodném směru, proudy by se sčítaly, ale zde je směr smyčkového proudu I_A a I_B v protisměru, proto se odečítají. A protože nyní sestavujeme rovnici z pohledu proudu I_A, ten je teď šéf, tak od něj odečítáme proud I_B. Napětí na rezistoru R₂ je tedy R₂·(I_A−I_B) a celá rovnice pro smyčku A má tvar:

$$-U_z+R_1 \cdot I_A+ R_2 \cdot (I_A-I_B)=0$$

Protože druhou rovnici tvoříme z pohledu chování proudu B, tak pro rezistor R₂ se oproti předchozí rovnici prohodí pozice proudů, celá rovnice pro smyčku B má tvar:

$$R_3 \cdot I_B+ R_2 \cdot (I_B-I_A)=0$$

V pátém kroku dosadíme známé veličiny a sečteme shodné členy.

$$A: \quad 12I_A-10I_B=10$$
$$B: \quad -10I_A+50I_B=0$$

Nyní máme soustavu rovnic vyřešit. Zvolíme sčítací metodu, tzn. upravit rovnice tak, aby se při jejich sečtení jedna neznámá vyrušila. Rovnici pro smyčku A přenásobíme pěti. Pak:

$$A: \quad 60I_A-50I_B=50$$
$$B: \quad -10I_A+50I_B=0$$

Výsledek:

$$50I_A=50$$

Takže:

$$I_A=1\,\text{A}$$

Máme vypočtenou jednu neznámou, tak můžeme dosadit zpět do jedné z rovnic, třeba původní rovnice pro smyčku A má po dosazení tvar:

$$12 \cdot 1-10I_B=10$$
$$10I_B=2$$
$$I_B=0{,}2\,\text{A}$$

Máme i druhý smyčkový proud, zbývá poslední krok, což je převedení smyčkových proudů na skutečné. Protože rezistorem R₁ a R₃ teče jen jeden smyčkový proud, odpovídají tyto proudy těm skutečným. U rezistoru R₂ jdou proti sobě, přičemž dominantní je proud I_A, proto výsledný proud bude mít jeho orientaci – když od proudu I_A odečteme proud I_B, zbývá 0,8 A.

$$I_A=I_1=1\,\text{A}$$
$$I_B=I_3=0{,}2\,\text{A}$$
$$I_A-I_B=I_2=0{,}8\,\text{A}$$

Když máme vyřešeny všechny proudy a známe odpory, je už jednoduché dopočítat jednotlivé úbytky napětí na rezistorech.

$$U_1=R_1 \cdot I_1=2\cdot 1=2\,\text{V}$$
$$U_2=R_2 \cdot I_2=10\cdot 0{,}8=8\,\text{V}$$
$$U_3=R_3 \cdot I_3=40\cdot 0{,}2=8\,\text{V}$$