Transfigurace

Ve většině případů řešíme sériové a paralelní řazení rezistorů. Jenže tři rezistory zapojené do trojúhelníku s vyvedenými větvemi z každého uzlu nezapadají ani do jedné z těchto kategorií. V takovém případě musíme použít transfiguraci, převedení tohoto nezjednodušitelného zapojení na hvězdu, kterou již lze řešit jako sérioparalelní kombinaci. Kdybychom transfigurované zapojení schovali do černé skříňky, zvenku nelze poznat, zda je uvnitř trojúhelník nebo hvězda, protože se obě zapojení elektricky chovají identicky.

Z trojúhelníku na hvězdu

Odvození vzorců je pracné, proto si uvedeme pouze finální vztahy.

Přepočtové rovnice vypadají na první pohled složitě, ale vzor, podle kterého se tvoří, situaci trochu usnadňuje. Abychom získali ekvivalentní odpor R_A, vynásobíme hodnoty odporů po jeho bocích a tento součin vydělíme součtem všech tří odporů. Obdobně postupujeme pro R_B a R_C.

$$R_A = \frac{R_{AB} \cdot R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}}$$

$$R_B = \frac{R_{AB} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}}$$

$$R_C = \frac{R_{AC} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}}$$

Pokud mají všechny rezistory stejnou hodnotu:

$$R_{AB} = R_{AC} = R_{BC} = R_\Delta$$

pak je odpor jednoho rezistoru zapojeného do hvězdy roven jedné třetině odporu zapojeného do trojúhelníku.

$$R_Y = \frac{R_\Delta}{3}$$

Z hvězdy na trojúhelník

Abychom získali odpor R_AB, sečteme všechny tři možné součiny dvojic odporů a výsledek vydělíme odporem ležícím naproti hledanému rezistoru. Naproti R_AB leží na schématu rezistor R_C.

$$R_{AB} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C}{R_C}$$

$$R_{BC} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C}{R_A}$$

$$R_{AC} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C}{R_B}$$

Pokud mají všechny rezistory ve hvězdě stejnou hodnotu:

$$R_A = R_B = R_C = R_Y$$

pak je odpor jednoho rezistoru v trojúhelníku roven trojnásobku odporu zapojeného do hvězdy.

$$R_\Delta = 3 R_Y$$

Příklad 1

Tři rezistory o hodnotě 100 Ω jsou zapojeny do trojúhelníku. Dosadíme do rovnice

$$R_A = \frac{100 \cdot 100}{100 + 100 + 100} = \frac{10000}{300} = 33{,}\overline{3} \ \Omega$$

výsledek 33,3 Ω platí pro všechny tři rezistory hvězdy. Ověřil se tím předpoklad: jsou-li hodnoty v trojúhelníku stejné, je ekvivalentní odpor hvězdy třetinový.

Příklad 2

Máme spočítat proud ze zdroje 29 V. Odpory mají hodnoty R₁ = 10 Ω, R₂ = 20 Ω, R₃ = 30 Ω, R₄ = 40 Ω, R₅ = 50 Ω. Zapojení obsahuje dva trojúhelníky, ale stačí nahradit pouze jeden, například ten tvořený R₁ až R₃. Viz. 1 krok, ve kterém je vidět ekvivalentní obvod po transfiguraci.

postup řešení$$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{10 \cdot 20}{10 + 20 + 30} = \frac{200}{60} = 3{,}3 \ \Omega$$

$$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{20 \cdot 30}{60} = \frac{600}{60} = 10 \ \Omega$$

$$R_{13} = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{10 \cdot 30}{60} = \frac{300}{60} = 5 \ \Omega$$

Dále již postupujeme jako u sérioparalelní kombinace. K R₁₃ přičteme sériově R₄

$$R_{13} + R_4 = 5 + 40 = 45 \ \Omega$$

k R₂₃ přičteme R₅

$$R_{23} + R_5 = 10 + 50 = 60 \ \Omega$$

Odpory R₂₃₅ a R₁₃₄ jsou zapojeny paralelně

$$R_{12345} = \frac{45 \cdot 60}{45 + 60} = \frac{2700}{105} = 25{,}7 \ \Omega$$

jejich kombinace vychází na 25,7 Ω. Po přičtení R₁₂ dostaneme celkový odpor obvodu

$$R_{c} = R_{12} + R_{12345} = 3{,}3 + 25{,}7 = 29 \ \Omega$$

a ze zdroje teče proud

$$I = \frac{U}{R_{c}} = \frac{29}{29} = 1 \ \text{A}$$