Nortonova věta

V předchozím článku jsme si ukázali, jak lze sebesložitější lineární obvod nahradit Théveninovým ekvivalentem, tedy reálným zdrojem napětí. Existuje ale i druhý pohled na totéž. Navíc v elektronice se můžeme dostat do situace, kdy jednou chceme obvod nápájet zdrojem napětí a jindy zdrojem proudu.

Věta o náhradním proudovém zdroji

Norton říká, že každý sebesložitější lineární obvod lze nahradit reálným zdrojem proudu. Ten se skládá z ideálního zdroje proudu a vnitřního odporu zapojeného paralelně. Po připojení zátěže na zvolené svorky bude na nich identický proud i napětí jako v původním obvodu. Parametry Nortonova ekvivalentu jsou dva: proud nakrátko I₀ a vnitřní odpor Rᵢ.

Není náhoda, že vnitřní odpor je stejný jako u Thévenina, oba ekvivalenty popisují tentýž obvod, jen z jiného úhlu. Ostatně Nortonův a Théveninův obvod jsou navzájem převoditelné: platí U₀ = I_k · Rᵢ.

Postup

1. Na zvolených svorkách odpojit zátěž.
2. Vypočítat proud nakrátko I₀, proud, který by tekl při zkratování svorek.
3. Nahradit zdroje jejich vnitřními odpory (ideální zdroj proudu rozpojíme, ideální zdroj napětí zkratujeme).
4. Vypočítáme celkový odpor z pohledu svorek, což je hledaný odpor Rᵢ.

Příklad

Použijeme stejný obvod jako u Thévenina: dělič napětí ze dvou rezistorů 1 kΩ, zdroj proudu Iz = 100 mA, paralelně k R₂ připojena zátěž 20 kΩ.

Odpojíme zátěž a svorky zkratujeme. Zkrat je paralelně k R₂, tedy R₂ je přemostěn, napětí na něm je nulové a veškerý proud zdroje teče přímo do zkratu:

$$ I_k = 100 \, \text{mA} $$

V dalším kroce vypočteme celkový odpor. Obvod se musí skládat pouze z odporů, nahradíme zdroj jeho vnitřním odporem. Protože má zdroj proudu nekončený vnitřní odpor, odpojíme ho. R₁ je připojený k odpojené větvi zdroje, takže z pohledu svorek vidíme pouze R₂:

$$ R_i = R_2 = 1 \, \text{k}\Omega $$

Nortonův ekvivalent má tedy parametry I₀ = 100 mA a Rᵢ = 1 kΩ.

Ověření přes Thévenina

Ověříme zda výsledky sedí s Théveninem:

$$ U_0 = I_0 \cdot R_i = 0{,}1 \cdot 1000 = 100 \, \text{V} $$

Což souhlasí s výsledky z předchozího článku. Jak už padlo, oba ekvivalenty jsou dvě tváře téhož.

Připojíme zátěž Rz = 20 kΩ paralelně k Nortonovu zdroji. Proud se dělí mezi Rᵢ a Rz, napětí na zátěži:

$$ U_z = I_0 \cdot \frac{R_i \cdot R_z}{R_i + R_z} = 0{,}1 \cdot \frac{1k \cdot 20k}{21k} \doteq 95{,}2 \, \text{V} $$

$$ I_z = \frac{U_z}{R_z} = \frac{95{,}2}{20000} \doteq 4{,}76 \, \text{mA} $$

I zde výsledky sedí s předchozími.